Menyatakan pH Larutan Asam

Prinsip penentuan pH suatu larutan basa sama dengan penentuan pH larutam asam, yaitu dibedakan untuk basa kuat dan basa lemah.

1. pH Basa Kuat

Untuk menentukan pH basa-basa kuat (a = 1), maka terlebih dahulu dihitung nilai pOH larutan dari konsentrasi basanya.

Contoh:

a. Tentukan pH dari 100 ml larutan KOH 0.1 M !
b. Hitunglah pH dari 500 ml larutan Ca(OH)2 0.01 M !

Jawab:

a. KOH(aq) → K+(aq) + OH-(aq)
[OH-] = [KOH] = 0.1 = 10-1 M
pOH = – log 10-1 = 1
pH = 14 – pOH = 14 – 1 = 13

b. Ca(OH)2(aq) → Ca2+(aq) + 2 OH-(aq)
[OH-1] = 2[Ca(OH)2] = 2 x 0.01 = 2.10-2 M
pOH = – log 2.10-2 = 2 – log 2
pH = 14 – pOH = 14 – (2 – log 2) = 12 + log 2

2.pH Basa Lemah

Bagi basa-basa lemah, karena harga derajat ionisasinya ¹ 1, maka untuk menyatakan konsentrasi ion OH- digunakan rumus:

[OH-] = √ (Cb . Kb)

dimana:

Cb = konsentrasi basa lemah
Kb = tetapan ionisasi basa lemah

Contoh:

Hitunglah pH dari 100 ml 0.001 M larutan NH4OH, jika diketahui tetapan ionisasinya = 10-5 !

Jawab:

[OH-] = √ (Cb . Kb) = 10-3 . 10-5 = 10-4 M
pOH = – log 10-4 = 4
pH = 14 – pOH = 14 – 4 = 10

Selengkapnya...

Larutan Buffer

Larutan buffer adalah:

a. Campuran asam lemah dengan garam dari asam lemah tersebut.
Contoh:
- CH3COOH dengan CH3COONa
- H3PO4 dengan NaH2PO4

b. Campuran basa lemah dengan garam dari basa lemah tersebut.
Contoh:
- NH4OH dengan NH4Cl

Sifat larutan buffer:

- pH larutan tidak berubah jika diencerkan.
- pH larutan tidak berubah jika ditambahkan ke dalamnya sedikit asam atau basa.

CARA MENGHITUNG LARUTAN BUFFER

1. Untuk larutan buffer yang terdiri atas campuran asam lemah dengan garamnya (larutannya akan selalu mempunyai pH < 7) digunakan rumus:

[H+] = Ka. Ca/Cg

pH = pKa + log Ca/Cg

dimana:
Ca = konsentrasi asam lemah
Cg = konsentrasi garamnya
Ka = tetapan ionisasi asam lemah

Contoh:

Hitunglah pH larutan yang terdiri atas campuran 0.01 mol asam asetat dengan 0.1 mol natrium Asetat dalam 1 1iter larutan !
Ka bagi asam asetat = 10-5

Jawab:

Ca = 0.01 mol/liter = 10-2 M
Cg = 0.10 mol/liter = 10-1 M

pH= pKa + log Cg/Ca = -log 10-5 + log-1/log-2 = 5 + 1 = 6

2. Untuk larutan buffer yang terdiri atas campuran basa lemah dengan garamnya (larutannya akan selalu mempunyai pH > 7), digunakan rumus:

[OH-] = Kb . Cb/Cg

pOH = pKb + log Cg/Cb

dimana:
Cb = konsentrasi base lemah
Cg = konsentrasi garamnya
Kb = tetapan ionisasi basa lemah

Contoh:

Hitunglah pH campuran 1 liter larutan yang terdiri atas 0.2 mol NH4OH dengan 0.1 mol HCl ! (Kb= 10-5)

Jawab:

NH4OH(aq) + HCl(aq) ® NH4Cl(aq) + H2O(l)

mol NH4OH yang bereaksi = mol HCl yang tersedia = 0.1 mol
mol NH4OH sisa = 0.2 – 0.1 = 0.1 mol
mol NH4Cl yang terbentuk = mol NH40H yang bereaksi = 0.1 mol
Karena basa lemahnya bersisa dan terbentuk garam (NH4Cl) maka campurannya akan membentuk Larutan buffer.

Cb (sisa) = 0.1 mol/liter = 10-1 M
Cg (yang terbentuk) = 0.1 mol/liter = 10-1 M
pOH = pKb + log Cg/Cb = -log 10-5 + log 10-1/10-1 = 5 + log 1 = 5

pH = 14 – p0H = 14 – 5 = 9

Selengkapnya...

Hidrolisis

Hidrolisis adalah terurainya garam dalam air yang menghasilkan asam atau basa.

ADA EMPAT JENIS GARAM, YAITU :


1. Garam yang terbentuk dari reaksi asam kuat dengan basa kuat (misalnya NaCl, K2SO4 dan lain-lain) tidak mengalami hidrolisis. Untuk jenis garam yang demikian nilai pH = 7 (bersifat netral)
2. Garam yang terbentuk dari reaksi asam kuat dengan basa lemah (misalnya NH4Cl, AgNO3 dan lain-lain) hanya kationnya yang terhidrolisis (mengalami hidrolisis parsial). Untuk jenis garam yang demikian nilai pH < 7 (bersifat asam)
3. Garam yang terbentuk dari reaksi asam lemah dengan basa kuat (misalnya CH3COOK, NaCN dan lain-lain) hanya anionnya yang terhidrolisis (mengalami hidrolisis parsial). Untuk jenis garam yang demikian nilai pH > 7 (bersifat basa)
4. Garam yang terbentuk dari reaksi asam lemah dengan basa lemah (misalnya CH3COONH4, Al2S3 dan lain-lain) mengalami hidrolisis total (sempurna). Untuk jenis garam yang demikian nilai pH-nya tergantung harga Ka den Kb

Selengkapnya...

Garam Yang Terbentuk Dari Asam Kuat Dan Basa Lemah

Karena untuk jenis ini garamnya selalu bersifat asam (pH < 7) digunakan persamaan:

[H+] = √ Kh . Cg

dimana :

Kh = Kw/Kb


Kh = konstanta hidrolisis

Jika kita ingin mencari nilai pH-nya secara langsung, dipergunakan persamaan:

pH = 1/2 (pKW – pKb – log Cg)

Contoh:

Hitunglah pH dari 100 ml larutan 0.1 M NH4Cl ! (Kb = 10-5)

Jawab:

NH4Cl adalah garam yang bersifat asam, sehingga pH-nya kita hitung secara langsung.

pH = 1/2 (pKw – pKb – log Cg)
= 1/2 (-log 10-14 + log 10-5 – log 10-1)
= 1/2 (14 – 5 + 1)
= 1/2 x 10
= 5
Selengkapnya...

Garam Yang Terbentuk Dari Asam Lemah Dan Basa Kuat

Untuk jenis garam ini larutannya selalu bersifat basa (pH > 7), dan dalam perhitungan digunakan persamaan:

[OH-] = √ Kh . Cg

dimana:


Kh = Kw/Ka

Kh = konstanta hidrolisis

Jika kita ingin mencari nilai pH-nya secara langsung, dipergunakan persamaan:

pH = 1/2 (pKw + pKa + log Cg)



Contoh:

Hitunglah pH larutan dari 100 ml 0.02 M NaOH dengan 100 ml 0.02 M asam asetat ! (Ka = 10-5).

Jawab:

NaOH + CH3COOH ® CH3COONa + H2O

- mol NaOH = 100/1000 x 0.02 = 0.002 mol

- mol CH3COOH = 100/1000 x 0.02 = 0.002 mol

Karena mol basa yang direaksikannya sama dengan mol asam yang direaksikan, maka tidak ada yang tersisa, yang ada hanya mol garam (CH3COONa) yang terbentuk.

- mol CH3COONa = 0.002 mol (lihat reaksi)
- Cg = 0.002 mol/200 ml = 0.002 mol/0.2 liter = 0.01 M = 10-2 M
- Nilai pH-nya akan bersifat basa (karena garamnya terbentuk dari asam lemah dengan basa kuat), besarnya:

pH = 1/2 (pKw + pKa + log Cg)
= 1/2 (14 + 5 + log 10-2)
= 1/2 (19 – 2)
= 8.5
Selengkapnya...

Teori Asam Basa

A. MENURUT ARRHENIUS

Asam ialah senyawa yang dalam larutannya dapat menghasilkan ion H+.

Basa ialah senyawa yang dalam larutannya dapat menghasilkan ion


OH-.

Contoh:

1) HCl(aq) → H+(aq) + Cl-(aq)
2) NaOH(aq) → Na+(aq) + OH-(aq)
B. MENURUT BRONSTED-LOWRY

Asam ialah proton donor, sedangkan basa adalah proton akseptor.

Contoh:

1) HAc(aq) + H2O(l) ↔ H3O+(aq) + Ac-(aq)
asam-1 basa-2 asam-2 basa-1

HAc dengan Ac- merupakan pasangan asam-basa konjugasi.
H3O+ dengan H2O merupakan pasangan asam-basa konjugasi.

2) H2O(l) + NH3(aq) ↔ NH4+(aq) + OH-(aq)
asam-1 basa-2 asam-2 basa-1

H2O dengan OH- merupakan pasangan asam-basa konjugasi.
NH4+ dengan NH3 merupakan pasangan asam-basa konjugasi.

Pada contoh di atas terlihat bahwa air dapat bersifat sebagai asam (proton donor) dan sebagai basa (proton akseptor). Zat atau ion atau spesi seperti ini bersifat ampiprotik (amfoter).
Selengkapnya...

Netralisasi pada pengolahan limbah cair

Sebagian besar limbah cair dari industri mengandung bahan bahan yang bersifat asam (Acidic) ataupun Basa (alkaline) yang perlu dinetralkan sebelum dibuang kebadan air maupun sebelum limbah masuk pada proses pengolahan, baik pengolahan secara biologic maupun secara kimiawi, proses netralisasi tersebut bisa dilakukan sebelum atau sesudah proses equalisasi.

Untuk mengoptimalkan pertumbuhan microorganisme pada pengolahan secara biologi, pH perlu dijaga pada kondisi antara pH 6,5 – 8,5, karena sebagian besar microb aktif atau hidup pada kondisi pH tersebut. Proses koagulasi dan flokulasi juga akan lebih efisien dan efektif jika dilakukan pada kondisi pH netral.


Netralisasi adalah penambahan Basa (alkali) pada limbah yang bersifat asam (pH 7).Pemilihan bahan/reagen untuk proses netralisasi banyak ditentukan oleh harga/biaya dan praktis-nya, Bahan (reagen) yang biasa digunakan tersebut adalah :
Asam : -Sulfuric acid ( H2SO4 )
-Hydrochloric acid ( HCI )
-Carbon dioxide ( CCG2 )
-Sulfur dioxide
-Nitric acid
Basa : -Caustic soda (NaOH) Ammonia
-Soda Ash (Na2CO3) Limestone (CaCO3)
Selengkapnya...

Struktur Atom Kimia

PARTIKEL MATERI

Bagian terkecil dari materi disebut partikel.

Beberapa pendapat tentang partikel materi :

1. Menurut Democritus, pembagian materi bersifat diskontinyu ( jika suatu materi dibagi dan terus dibagi maka akhirnya diperoleh partikel terkecil yang sudah tidak dapat dibagi lagi = disebut Atom )

2. Menurut Plato dan Aristoteles, pembagian materi bersifat kontinyu ( pembagian dapat berlanjut tanpa batas )
Postulat Dasar dari Teori Atom Dalton :

1) Setiap materi terdiri atas partikel yang disebut atom

2) Unsur adalah materi yang terdiri atas sejenis atom

3) Atom suatu unsur adalah identik tetapi berbeda dengan atom unsur lain ( mempunyai massa yang berbeda )

4) Senyawa adalah materi yang terdiri atas 2 atau lebih jenis atom dengan perbandingan tertentu

5) Atom tidak dapat diciptakan atau dimusnahkan dan tidak dapat diubah menjadi atom lain melalui reaksi kimia biasa. Reaksi kimia hanyalah penataan ulang ( reorganisasi ) atom-atom yang terlibat dalam reaksi tersebut
Kelemahan dari postulat teori Atom Dalton :

1) Atom bukanlah sesuatu yang tak terbagi, melainkan terdiri dari partikel subatom

2) Atom-atom dari unsur yang sama, dapat mempunyai massa yang berbeda ( disebut Isotop )

3) Atom dari suatu unsur dapat diubah menjadi atom unsur lain melalui Reaksi Nuklir

4) Beberapa unsur tidak terdiri dari atom-atom melainkan molekul-molekul
PERKEMBANGAN TEORI ATOM

1). Model Atom Dalton

a) Atom digambarkan sebagai bola pejal yang sangat kecil.

b) Atom merupakan partikel terkecil yang tidak dapat dipecah lagi.

c) Atom suatu unsur sama memiliki sifat yang sama, sedangkan atom unsur berbeda, berlainan dalam massa dan sifatnya.

d) Senyawa terbentuk jika atom bergabung satu sama lain.

e) Reaksi kimia hanyalah reorganisasi dari atom-atom, sehingga tidak ada atom yang berubah akibat reaksi kimia.

Teori atom Dalton ditunjang oleh 2 hukum alam yaitu :

1. Hukum Kekekalan Massa ( hukum Lavoisier ) : massa zat sebelum dan sesudah reaksi adalah sama.

2. Hukum Perbandingan Tetap ( hukum Proust ) : perbandingan massa unsur-unsur yang menyusun suatu zat adalah tetap.

Kelemahan Model Atom Dalton :

1) Tidak dapat menjelaskan perbedaan antara atom unsur yang satu dengan unsur yang lain

2) Tidak dapat menjelaskan sifat listrik dari materi

3) Tidak dapat menjelaskan cara atom-atom saling berikatan

4) Menurut teori atom Dalton nomor 5, tidak ada atom yang berubah akibat reaksi kimia. Kini ternyata dengan reaksi kimia nuklir, suatu atom dapat berubah menjadi atom lain.

2). Model Atom Thomson

Setelah ditemukannya elektron oleh J.J Thomson, disusunlah model atom Thomson yang merupakan penyempurnaan dari model atom Dalton. Menurut Thomson :

a) Atom terdiri dari materi bermuatan positif dan di dalamnya tersebar elektron (bagaikan kismis dalam roti kismis)

b) Atom bersifat netral, yaitu muatan positif dan muatan negatif jumlahnya sama

3). Model Atom Rutherford

a) Rutherford menemukan bukti bahwa dalam atom terdapat inti atom yang bermuatan positif, berukuran lebih kecil daripada ukuran atom tetapi massa atom hampir seluruhnya berasal dari massa intinya.

b) Atom terdiri dari inti atom yang bermuatan positif dan berada pada pusat atom serta elektron bergerak melintasi inti (seperti planet dalam tata surya).

c) Atom bersifat netral.

d) Jari-jari inti atom dan jari-jari atom sudah dapat ditentukan.

Kelemahan Model Atom Rutherford :

Ø Ketidakmampuan untuk menjelaskan mengapa elektron tidak jatuh ke inti atom akibat gaya tarik elektrostatis inti terhadap elektron.

Ø Menurut teori Maxwell, jika elektron sebagai partikel bermuatan mengitari inti yang memiliki muatan yang berlawanan maka lintasannya akan berbentuk spiral dan akan kehilangan tenaga/energi dalam bentuk radiasi sehingga akhirnya jatuh ke inti.

4). Model Atom Niels Bohr

* Model atomnya didasarkan pada teori kuantum untuk menjelaskan spektrum gas hidrogen.
* Menurut Bohr, spektrum garis menunjukkan bahwa elektron hanya menempati tingkat-tingkat energi tertentu dalam atom.

Menurutnya :

a) Atom terdiri dari inti yang bermuatan positif dan di sekitarnya beredar elektron-elektron yang bermuatan negatif.

b) Elektron beredar mengelilingi inti atom pada orbit tertentu yang dikenal sebagai keadaan gerakan yang stasioner (tetap) yang selanjutnya disebut dengan tingkat energi utama (kulit elektron) yang dinyatakan dengan bilangan kuantum utama (n).

c) Selama elektron berada dalam lintasan stasioner, energinya akan tetap sehingga tidak ada cahaya yang dipancarkan.

d) Elektron hanya dapat berpindah dari lintasan stasioner yang lebih rendah ke lintasan stasioner yang lebih tinggi jika menyerap energi. Sebaliknya, jika elektron berpindah dari lintasan stasioner yang lebih tinggi ke rendah terjadi pelepasan energi.

e) Pada keadaan normal (tanpa pengaruh luar), elektron menempati tingkat energi terendah (disebut tingkat dasar = ground state)

Kelemahan Model Atom Niels Bohr :

1. Hanya dapat menerangkan spektrum dari atom atau ion yang mengandung satu elektron dan tidak sesuai dengan spektrum atom atau ion yang berelektron banyak.

2. Tidak mampu menerangkan bahwa atom dapat membentuk molekul melalui ikatan kimia

5). Model Atom Modern

Dikembangkan berdasarkan teori mekanika kuantum yang disebut mekanika gelombang; diprakarsai oleh 3 ahli :

a) Louis Victor de Broglie

Menyatakan bahwa materi mempunyai dualisme sifat yaitu sebagai materi dan sebagai gelombang.

b) Werner Heisenberg

Mengemukakan prinsip ketidakpastian untuk materi yang bersifat sebagai partikel dan gelombang. Jarak atau letak elektron-elektron yang mengelilingi inti hanya dapat ditentukan dengan kemungkinan – kemungkinan saja.

c) Erwin Schrodinger (menyempurnakan model Atom Bohr)

Berhasil menyusun persamaan gelombang untuk elektron dengan menggunakan prinsip mekanika gelombang. Elektron-elektron yang mengelilingi inti terdapat di dalam suatu orbital yaitu daerah 3 dimensi di sekitar inti dimana elektron dengan energi tertentu dapat ditemukan dengan kemungkinan terbesar.

Model atom Modern :

a) Atom terdiri dari inti atom yang mengandung proton dan neutron sedangkan elektron-elektron bergerak mengitari inti atom dan berada pada orbital-orbital tertentu yang membentuk kulit atom.

b) Orbital yaitu daerah 3 dimensi di sekitar inti dimana elektron dengan energi tertentu dapat ditemukan dengan kemungkinan terbesar.

c) Kedudukan elektron pada orbital-orbitalnya dinyatakan dengan bilangan kuantum.

* Orbital digambarkan sebagai awan elektron yaitu : bentuk-bentuk ruang dimana suatu elektron kemungkinan ditemukan.
* Semakin rapat awan elektron maka semakin besar kemungkinan elektron ditemukan dan sebaliknya.


Selengkapnya...

Unsur-Unsur Transisi Dan Ion Kompleks

a. Unsur Transisi Unsur yang dapat menggunakan elektron pada kulit pertama sebelum kulit terluar untuk berikatan dengan unsur lain
b. Ion Kompleks Terdiri dari Ion pusat dari Ligand
1. Ion pusat ion dari unsur-unsur transisi dan bermuatan positif.


2. Ligand molekul atau ion yang mempunyai pasangan elektron bebas.
Misal : Cl-, CN-, NH3, H2O dan sebagainya.
3. Bilangan koordinasi adalah jumlah ligand dalam
suatu ion kompleks.

Antara ion pusat dan ligand terdapat ikatan koordinasi.
c. Daftar Ion Kompleks
1. Ion Kompleks positif :
[Ag(NH3)2]+ = Diamin Perak (I)
[Cu(NH3)4]2+ = Tetra amin Tembaga (II)
[Zn(NH3)4]2+ = Tetra amin Seng (II)
[Co(NH3)6]3+ = Heksa amin Kobal (III)
[Cu(H2O)4]2+ = Tetra Aquo Tembaga (II)
[Co(H2O)6]3+ = Heksa Aquo Kobal (III)
2. Ion Kompleks negatif
[Ni(CN)4]2- = Tetra siano Nikelat (II)
[Fe(CN)6]3- = Heksa siano Ferat (III)
[Fe(CN)6]4- = Heksa siano Ferat (II)
[Co(CN)6]4- = Heksa siano Kobaltat (II)
[Co(CN)6]3- = Heksa siano Kobaltat (III)
[Co(Cl6]3- = Heksa kloro Kobaltat (III)
Selengkapnya...

RUMUS KIMIA

Rumus kimia adalah rumus yang menyatakan lambang atom dan jumlah atom unsur yang menyusun senyawa. Rumus kimia disebut juga rumus molekul, karena penggambaran yang nyata dari jenis dan jumlah atom unsur penyusun senyawa yang bersangkutan.

Berbagai bentuk rumus kimia sebagai berikut:

1. 1. Rumus kimia untuk molekul unsur monoatomik.

Rumus kimia ini merupakan lambang atom unsur itu sendiri.

Contoh :


Fe, Cu, He, Ne, Hg.

1. 2. Rumus kimia untuk molekul unsur diatomik.

Rumus kimia ini merupakan penggabungan dua atom unsur yang sejenis dan saling berikatan.

Contoh :

H2, O2, N2, Cl2, Br2, I2.

1. 3. Rumus kimia untuk molekul unsur poliatomik.

Rumus kimia ini merupakan penggabungan lebih dari dua atom unsur yang sejenis dan saling berikatan.

Contoh :

O3, S8, P4.

1. 4. Rumus kimia untuk molekul senyawa ion

Merupakan rumus kimia yang dibentuk dari penggabungan antar atom yang bermuatan listrik, yaitu ion positif (kation) dan ion negatif (anion). Ion positif terbentuk karena terjadinya pelepasan elektron (Na+, K+, Mg2+), sedangkan ion negatif terbentuk karena penangkapan elektron (Cl-, S2-, SO42-).

Penulisan rumus kimia senyawa ion sebagai berikut.

- Penulisan diawali dengan ion positif (kation) diikuti ion negatif (anion).

- Pada kation dan anion diberi indeks, sehingga didapatkan senyawa yang bersifat netral (jumlah muatan (+) = jumlah muatan (-)).

- Bentuk umum penulisannya sebagai berikut.










rumus-kimia-1

Contoh :

Na+ dengan Cl- membentuk NaCl.

Mg2+ dengan Br- membentuk MgBr2.

Fe2+ dengan SO42- membentuk FeSO4.

1. 5. Rumus kimia untuk senyawa biner nonlogam dengan nonlogam.

Penulisan rumus kimia ini berdasarkan kecenderungan atom yang bermuatan positif diletakkan di depan, sedangkan kecenderungan atom bermuatan negatif diletakkan di belakang menurut urutan atom berikut ini.

B – Si – C – S – As – P- N – H – S – I – Br – Cl – O – F

Contoh :

CO2, H2O, NH3.

1. 6. Rumus kimia /rumus molekul senyawa organik.

Rumus ini juga menunjukkan jenis dan jumlah atom penyusun senyawa organik yang berdasarkan gugus fungsi masing – masing senyawa.

Contoh :

CH3COOH : asam asetat

CH4 : metana (alkana)

C2H5OH : etanol (alkohol)

1. 7. Rumus kimia untuk senyawa anhidrat.

Anhidrat merupakan sebutan dari garam tanpa air kristal (kehilangan molekul air kristalnya) atau H2O.

Contoh :

CaCl2 anhidrous atau CaCl2.2H2O.

CuSO4 anhidrous atau CuSO4.5H2O.

1. 8. Rumus kimia untuk senyawa kompleks.

Penulisan rumus senyawa dan ion kompleks ditulis dalam kurung siku [...].

Contoh :

Na2[MnCl4]

[Cu(H2O)4](NO3)2

K4[Fe(CN)6]

RUMUS EMPIRIS

Rumus empiris merupakan rumus kimia yang menyatakan jenis dan perbandingan paling sederhana (bilangan bulat terkecil) dari atom – atom penyusun senyawa.

Contoh :

C12H22O11 (gula)

CH2O (glukosa)

C2H6O (alkohol)

CHO2 (asam oksalat)

RUMUS STRUKTUR

Rumus struktur merupakan rumus kimia yang menggambarkan posisi atau kedudukan atom dan jenis ikatan antar atom pada molekul.

Rumus struktur ikatan.









rumus-kimia-2

Rumus struktur secara singkat dituliskan :

CH3CH3

CH3COOH

RUMUS BANGUN/BENTUK MOLEKUL

Adalah rumus kimia yang menggambarkan kedudukan atom secara geometri/ tiga dimensi dari suatu molekul.







rumus-kimia-3
Selengkapnya...

FUNGSI KUADRAT

Nilai Ekstrim
BENTUK UMUM

y = f(x) = ax2 + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas;
a,b,c konstanta ; a ¹ 0


NILAI EKSTRIM

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a

Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a

Dapat disimpulkan :

y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim

Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum tergantung dari nilai a.

Tanda dari a
a Parabola Terbuka Grafik
a > 0 Ke atas
Mempunyai nilai minimum
a < 0 Ke bawah
Mempunyai nilai maksimum

GRAFIK

Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA.
Untuk melukiskannya harus diperhatikan

1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X

y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)



KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
Diskriminan PK Akar PK Titik Potong Dengan Sumbu x Grafik
D > 0 2 akar berlainan 2 titik potong
D = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung)
D < 0 tidak ada akar Tidak ada titik potong



2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y

x=0 ® y=c ® (0, c)


KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
c > 0

c < 0

c = 0


memotong sumbu y di atas

memotong sumbu y di bawah

melalui titik (0,0)


3. SUMBU SIMETRI

(Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris).

Persamaan sumbu simetri x = -b/2a

Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b.

4. TITIK PUNCAK

Puncak (-b/2a , -D/4a)

5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y SECUKUPNYA

KOMBINASI TANDA a dan D
a>0
a<0

Ket :
Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.
(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.
(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).



Menentukan Fungsi Kuadrat
Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja.


diketahui melalui

misalkan fungsi
1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3) y = ax² + bx + c
(a = ? ; b=? ; c = ?)
2) Titik potong dengan sumbu x
(x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3) y = a (x - x1) (x - X2)
( a = ? )
3) Titik Puncak (xp, yp)
dan sebuah titik sembarang (X2,Y2) Y = a (x - xp)² + yp
( a = ? )


Ket:
Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan. Selengkapnya...

PROGRAM LINIER

POLIGONAL DAN TITIK EKSTRIM

Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian pertidaksamaan, membentuk suatu Poligonal.
Titik P disebut Titik Ekstrim dari poligonal, jika P adalah titik potong garis garis yang membatasi poligonal tersebut.

Contoh :

Gambarkan TK x + 2y £ 4 (1)
x - y £ 4 (2)
x ³ 1 (3)
y ³ -1 (4)


Langkah:
® Gambarkan terlebih dahulu keempat garis batasnya dan masing- masing tentukan daerahnya.
® Cari irisannya yang merupakan suatu poligonal.
®Terakhir cari koordinat titik ekstrim poligonal tersebut.

- A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = -1

- B adalah titik potong antara garis y = -1 dan garis x-y =4

- C adalah titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x-y=4
C (4, 0)

- D adalah titik potong antara x = 1 dan x + 2y = 4.
D (1, 3/2i )

Terbentuk poligonal ABCD dengan 4 titik ekstrimnya, yaitu :
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4 , 0) ; D(1,3/2)

Fungsi Linier Pada Poligonal
Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy
dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut

ax + by £ c
dx + ey £ f
px + qy £ r

Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

DALIL

Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
x- y£ 4
x ³ 1
y ³ -1

Langkah :
® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).




Model Matematika
Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)



contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel

Kue A Kue B Tersedia
Tepung
Mentega 150
50 75
75 2250
1750
KEUNTUNGAN 100 125

Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :

Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

dengan syarat (ds):
150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

Model I Model II Tersedia
Katun
Sutera
Wool 2
1
1 1
2
3 16
11
15
KEUNTUNGAN 3000 5000


Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y


Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £ 11 (2)
x + 3y £ 15 (3)
x;y ³ 0

Titik Ekstrim

A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?

Tabel

A B Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak 4
12
2 2
2
6 16
24
15
HARGA 1700 800


Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
2x + 6y ³ 18 ® x + 3y ³ 9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.


Garis Selidik
Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya.
Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.

Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by

Garis Selidik ax + by = k

Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut.
Kemungkinan-kemungkinan

1) k=0 ® ax +by=0
Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.

2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum dari fungsi didapat.

contoh :

Maksimumkan f(x,y) = x + 2y

ds : x + 3y £ 9...(1)
2x + y £ 8...(2)
x ; y ³ 0

Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E.

Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7

Keterangan :
Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan. Selengkapnya...

Gradien

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

y = mx + n (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)
0° < a < 90° ® tan a = +
90° < a < 180° ® tan a = -

n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

y = mx + n Selengkapnya...

Fungsi Invers

f : A ® B

Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1


ket :

f : y = f(x)

cara mencari fungsi invers

f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

TEOREMA
f : A ® B dan f-1 : B ® A

f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)

f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)


Invers Dari Fungsi Komposisi


(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)

contoh:

1. Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak




2.

Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !



CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
3.

Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
4.

Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Hal-Hal Khusus
FUNGSI ASAL

FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0 f-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0 f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0

Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.

f(x) = x² untuk X > 0 ® f-1(x) = Öx untuk X > 0 Selengkapnya...

Komposisi Fungsi

Anggap f : A ® B dan g : B ® C

Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g

h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))

® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.

contoh:

1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t



2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil

maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]

SIFAT

Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D

maka

(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif Selengkapnya...

Menyusun Persamaan Kuadrat

KEDUA AKARNYA KUADRAT

Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0

2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI

Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0


2. Hubungan beraturan (hal khusus)

Akar-akar baru

Hubungan

PK Baru

p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p)



y = X + p
® X = y-p




a(y-p)² + b(y-p) + c =0



p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p)



y = X - p
® X = y + p




a(y+p)² + b(y+p) + c = 0



p kali
pX1 dan pX2




y = pX
® X = y/p




a(y/p)²+b(y/p)+c=0



kebalikannya
1/X1 dan 1/X2




y=1/X
X= 1/y




a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0



kuadratnya
X1² dan X2²




y = X²
® X = Öy




a(Öy)² + b(Öy) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0


Sifat-Sifat
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a < b

1. a > b ® a - b > 0
a = b ® a - b = 0
a < b ® a - b < 0

prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif


2. a + b < c ® a + b - c < 0

atau

c-a-b>0


3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama

a < b ® { a + c < b + c
a - c < b - c


4. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama

a < b } ® { ac < bc
c > 0 a/c < b/c

Tanda tetap


5.

Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
a < b } ® { ad > bd TANDA BERUBAH
d < 0 a/d > b/d


6.

Pangkat Genap
a > 0 ; b > 0 } ® a² < b² TANDA TETAP
a < b

a < 0 ; b < 0 } ® a² > b² TANDA BERUBAH
a < b


7.

Pangkat Ganjil

a < b ® { a³ < b³ ® TANDA TETAP
a5 < b5
a7 < b7


8.

Kebalikan

a > 0 ; b > 0 } ® 1/a > 1/b TANDA BERUBAH
a < b

a < 0 ; b < 0 } ® 1/a > 1/b TANDA BERUBAH Selengkapnya...

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a

X1.X2 = c/a

X1 - X2 = ÖD/a

1. Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0


2. Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c

Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c


3. Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0


4. Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

syarat: D ³ 0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0


5. Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0
X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti


6. Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2²

= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)


2. X1³ + X2³

= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)


3. X14 + X24

= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²


4. X1²X2 + X1X2²

= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)


5. 1/X1 + 1/X2

= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c


6. X1/X2 + X2/X1

= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2


7. (X1-X2)²

= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²


8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(ÖD/a)



Bedakan Istilah

Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)² Selengkapnya...

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

1. Memfaktorkan
   
   ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
   ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
   
   dengan p.q = a.c dan p + q = b
   
   
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
   persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
   (x + p)² = q² ® x + p = ± q
   x1 = q - p dan x2 = - q - p
   
   
3. Rumus ABC
   ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a
   
   bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
   sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a

Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

1. D > 0
   
   x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a
   
   PK mempunyai dua akar nyata berbeda
   
   
   
2. D = 0
   
   x1 = x2 = -b/2a
   
   PK mempunyai dua akar nyata yang sama
   
   tt
   
3. D <>
   
   Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0

Selengkapnya...

Narkotika dan zat adaktive lainnya

Pendahuluan

Perkembangan Penyalahgunaan dan Peredaran Gelap Narkotika, Psikotropika dan Bahan Zat Adiktif lainnya telah menjadi permasalahan dunia yang tidak mengenal batas Negara, juga menjadi bahaya global yang mengancam kehidupan masyarakat, Bangsa dan Negara selain terorisme. Masalah penyalahgunaan dan Peredaran Gelap Narkoba di Indonesia menunjukkan adanya kecenderungan yang meningkat dan sudah sangat memperihatinkan serta membahayakan kehidupan masyarakat, Bangsa dan Negara. Indonesia (Aceh) bukan hanya sebagai daerah penghasil Narkotika dan juga telah menjadi salah satu daerah sasaran perdagangan dan peredaran gelap berbagai jenis narkoba di tanah air.

APA YANG DIMAKSUD DENGAN NARKOTIKA ?

Narkotika berasal dari bahasa Yunani Narkoun yang berarti membuat lumpuh atau mati rasa. Menurut Undang-undang R.I No.22/1997 ditetapkan sebagai zat atau obat yang berasal dari tanaman atau bukan tanaman baik buatan maupun semi buatan yang dapat menyebabkan penurunan atau perubahan kesadaran, mengurangi sampai menghilangkan nyeri, dan dapat menimbulkan ketergantungan atau kecanduan. Undang-undang ini memberi batasan penyalahgunaan narkotika adalah orang yang menggunakan narkotika tanpa sepengetahuan dan pengawasan dokter. Dalam pasal 45 dinyatakan bahwa pecandu narkotika wajib menjalankan pengobatan dan atau perawatan iconwallbashy

SECARA UMUM, NARKOBA DIBEDAKAN DARI EFEK YANG DIHASILKANNYA, YAITU:

a. Stimulan (perangsang):
Obat jenis ini meningkatkan aktivitas dalam sistem syaraf pusat dan otonom. Obat perangsang bekerja mengurangi kantuk karena kelelahan, mengurangi nafsu makan dan menghasilkan insomnia, mempercepat detak jantung, tekanan darah dan pernapasan, serta mengerutkan urat nadi, membesarkan biji mata. Obat perangsang yang paling banyak dipakai adalah: nikotin (dari nikotin tembakau), kafein (terdapat dalam kopi, teh, cokelat, minuman ringan), amfetamin, kokain (dari erythroxylum pohon koka), dan crack (kristalisasi bentuk dasar kokain).

b. Anti-depresan, yaitu
sejenis obat yang mempunyai kemampuan untuk memperlambat fungsi sistem saraf pusat dan otonom. Obat antidepresan memberikan perasaan melambung tinggi, memberikan rasa bahagia semu, pengaruh anastesia (kehilangan indera perasa), pengaruh analgesia (mengurangi rasa sakit), penghilang rasa tegang dan kepanikan, memperlambat detak jantung dan pernapasan serta dapat berfungsi sebagai obat penenang dan obat tidur. Contoh: obat penenang hipnotis, alkohol, benzodiazepines, obat tidur, analgesik narkotika (opium, morfin, heroin, kodein), analgesik nonnarkotika (aspirin, parasetamol), serta anastesia umum seperti ether, oksida nitrus.

c. Halusinogen:
sejenis obat yang memiliki kemampuan untuk memproduksi spektrum pengubah rangsangan indera yang jelas dan pengubah perasaan serta pikiran. Akibat yang disebabkan oleh halusinogen bisa bebeda jauh antara satu pemakai dengan pemakai yang ragamnya mulai dari perasaan gembira yang luar biasa sampai perasaan ngeri yang luar biasa.

d. Klasifikasi NARKOBA yang lain: jenis-jenis obat yang tidak berpengaruh secara langsung terhadap sistem saraf pusat dan otonom, namun berpengaruh langsung terhadap bahan-bahan kimia otak yang spesifik (neurotransmitter). Ketika sedang aktif, neurotransmitter itu diyakini mempengaruhi emosi, rasa sakit, daya ingat, dan keterampilan motorik.

BAHAYA NARKOBA

Seperti dijelaskan di atas, efek yang ditimbulkan oleh NARKOBA dapat membuat pemakainya kehilangan kontrol atas dirinya, sehingga terkadang melakukan hal-hal yang tidak akan dilakukannya apabila ia sedang dalam kesadaran penuh.

Misalnya, di bawah pengaruh NARKOBA (terutama yang bersifat stimulan dan halusinogen) sepasang remaja bisa melakukan hubungan seks yang tidak aman, yang buntut-buntutnya dapat menyebabkan kehamilan yang tidak diinginkan atau penularan penyakit kelamin.
Selain itu, bergantian memakai jarum suntik juga dapat menularkan virus seperti HIV yang menyebabkan AIDS dan virus Hepatitis B dan C. Jarum suntik yang tidak steril juga menjadi pintu masuk bagi bakteri-bakteri yang suka ngendon di katup jantung, sehingga pecandu NARKOBA suntikan tak jarang yang mengalami kerusakan jantung.

Pada dasarnya, semua obat adalah racun, yang apabila dikonsumsi melebihi dosis yang aman dapat membahayakan kesehatan bahkan dapat sampai menimbulkan kematian. Demikian pula dengan obat-obatan atau zat yang bersifat adiktif atau menimbulkan ketagihan. Apabila seseorang sudah pernah mencoba NARKOBA dan menikmatinya, besar kemungkinan ia ingin mengulangi pengalaman itu. Apabila hal ini berlangsung lebih sering, maka ia akan memasuki tahap pembiasaan, di mana penggunaan NARKOBA sudah menjadi kebiasaannya.

Tahap yang mengikuti tahap pembiasaan adalah tahap kompulsif yaitu mengalami ketergantungan dan tidak dapat mengendalikan pemakaian obat-obatan tadi. Dalam keadaan ketagihan, pecandu merasa sangat tidak nyaman dan kesakitan. Baginya, tidak ada lagi yang lebih penting daripada mendapatkan zat yang menyebabkan dia ketagihan itu. Untuk mendapatkan itu dia dapat melakukan apa pun, seperti mencuri, bahkan membunuh.

Konsumsi zat adiktif terus-menerus dapat menyebabkan peningkatan toleransi tubuh sehingga pemakai tidak dapat mengontrol penggunaannya dan cenderung untuk terus meningkatkan dosis pemakaian sampai akhirnya tubuhnya tidak dapat menerima lagi. Keadaan ini disebut overdosis, dan apabila tidak ditangani secara cepat dan tepat, dapat menyebabkan nyawa melayang.

Overdosis juga dapat disebabkan oleh penggunaan campuran dua jenis atau lebih NARKOBA. Mencampur beberapa jenis sangat berbahaya karena kalau NARKOBA dicampur, pengaruhnya akan lebih dahsyat bahkan dapat menimbulkan reaksi lain yang tak terduga. Campuran yang paling berbahaya adalah campuran dua macam antidepresan misa1nya heroin dan alkohol dan / atau valium rohypnol. Pengaruh sinergi dari dua jenis antidepresan dapat menutup rapat pusat pernapasan otak, yang mengakibatkan koma atau kematian

Gejala - Gejala Pemakaian Narkoba Secara Berlebihan

1. Opiat (heroin, morfin, ganja)
- perasaan senang dan bahagia
- acuh tak acuh (apati)
- malas bergerak
- mengantuk
- rasa mual
- bicara cadel
- pupil mata mengecil (melebar jika overdosis)
- gangguan perhatian/daya ingat

2. Ganja
- rasa senang dan bahagia
- santai dan lemah
- acuh tak acuh
- mata merah
- nafsu makan meningkat
- mulut kering
- pengendalian diri kurang
- sering menguap/ngantuk
- kurang konsentrasi
- depresi

3. Amfetamin (shabu, ekstasi)
- kewaspadaan meningkat
- bergairah
- rasa senang, bahagia
- pupil mata melebar
- denyut nadi dan tekanan darah meningkat
- sukar tidur/ insomnia
- hilang nafsu makan

4. Kokain
- denyut jantung cepat
- agitasi psikomotor/gelisah
- euforia/rasa gembira berlebihan
- rasa harga diri meningkat
- banyak bicara
- kewaspadaan meningkat
- kejang
- pupil (manik mata) melebar
- tekanan darah meningkat
- berkeringat/rasa dingin
- mual/muntah
- mudah berkelahi
- psikosis
- perdarahan darah otak
- penyumbatan pembuluh darah
- nystagmus horisontal/mata bergerak tak terkendali
- distonia (kekakuan otot leher)

5. Alkohol
- bicara cadel
- jalan sempoyongan
- wajah kemerahan
- banyak bicara
- mudah marah
- gangguan pemusatan perhatian
- nafas bau alkohol

6. Benzodiazepin (pil nipam, BK, mogadon)
- bicara cadel
- jalan sempoyongan
- wajah kemerahan
- banyak bicara
- mudah marah
- gangguan pemusatan perhatian

Tanda-Tanda Kemungkinan Penyalahgunaan Narkotika dan Zat adiktif

a. Fisik
- berat badan turun drastis
- mata terlihat cekung dan merah, muka pucat, dan bibir kehitam-hitaman
- tangan penuh dengan bintik-bintik merah, seperti bekas gigitan nyamuk dan
ada tanda bekas luka sayatan. Goresan dan perubahan warna kulit di tempat
bekas suntikan
- buang air besar dan kecil kurang lancar
- sembelit atau sakit perut tanpa alasan yang jelas

b. Emosi
- sangat sensitif dan cepat bosan
- bila ditegur atau dimarahi, dia malah menunjukkan sikap membangkang
- emosinya naik turun dan tidak ragu untuk memukul orang atau berbicara kasar
terhadap anggota keluarga atau orang di sekitarnya
- nafsu makan tidak menentu

c. Perilaku
- malas dan sering melupakan tanggung jawab dan tugas-tugas rutinnya
- menunjukkan sikap tidak peduli dan jauh dari keluarga
- sering bertemu dengan orang yang tidak dikenal keluarga, pergi tanpa pamit
dan pulang lewat tengah malam
- suka mencuri uang di rumah, sekolah ataupun tempat pekerjaan dan menggadaikan
barang-barang berharga di rumah. Begitupun dengan barang-barang berharga
miliknya, banyak yang hilang
- selalu kehabisan uang
- waktunya di rumah kerapkali dihabiskan di kamar tidur, kloset, gudang, ruang yang
gelap, kamar mandi, atau tempat-tempat sepi lainnya
- takut akan air. Jika terkena akan terasa sakit – karena itu mereka jadi malas mandi
- sering batuk-batuk dan pilek berkepanjangan, biasanya terjadi pada saat gejala
“putus zat”
- sikapnya cenderung jadi manipulatif dan tiba-tiba tampak manis bila ada maunya,
seperti saat membutuhkan uang untuk beli obat
- sering berbohong dan ingkar janji dengan berbagai macam alasan
- mengalami jantung berdebar-debar
- sering menguap
- mengeluarkan air mata berlebihan
- mengeluarkan keringat berlebihan
- sering mengalami mimpi buruk
- mengalami nyeri kepala
- mengalami nyeri/ngilu sendi-sendi

Selengkapnya...