Sabtu, 23 Januari 2010

Fungsi Invers

f : A ® B

Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1


ket :

f : y = f(x)

cara mencari fungsi invers

f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

TEOREMA
f : A ® B dan f-1 : B ® A

f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)

f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)


Invers Dari Fungsi Komposisi


(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)

contoh:

1. Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak




2.

Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !



CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
3.

Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
4.

Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Hal-Hal Khusus
FUNGSI ASAL

FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0 f-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0 f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0

Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.

f(x) = x² untuk X > 0 ® f-1(x) = Öx untuk X > 0

Tidak ada komentar:

Posting Komentar