Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a

X1.X2 = c/a

X1 - X2 = ÖD/a

1. Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0


2. Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c

Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c


3. Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0


4. Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

syarat: D ³ 0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0


5. Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0
X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti


6. Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2²

= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)


2. X1³ + X2³

= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)


3. X14 + X24

= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²


4. X1²X2 + X1X2²

= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)


5. 1/X1 + 1/X2

= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c


6. X1/X2 + X2/X1

= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2


7. (X1-X2)²

= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²


8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(ÖD/a)



Bedakan Istilah

Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)²