Sabtu, 23 Januari 2010

FUNGSI KUADRAT

Nilai Ekstrim
BENTUK UMUM

y = f(x) = ax2 + bx + c

x variabel bebas; y variabel tak bebas;
a,b,c konstanta ; a ¹ 0


NILAI EKSTRIM

Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x+b/2a)² - D/4a

Dapat disimpulkan : y ekstrim = -D/4a yang dicapai bila x = -b/2a

Dapat disimpulkan :

y = a(x - x ekstrim)² + y ekstrim

Ket: : Fungsi kuadrat mempunyai nilai ekstrim, maksimum atau minimum tergantung dari nilai a.

Tanda dari a
a Parabola Terbuka Grafik
a > 0 Ke atas
Mempunyai nilai minimum
a < 0 Ke bawah
Mempunyai nilai maksimum

GRAFIK

Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah PARABOLA.
Untuk melukiskannya harus diperhatikan

1) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-X

y=O ® ax²+ bx + c = 0 (bentuk Persamaan Kuadrat)



KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
Diskriminan PK Akar PK Titik Potong Dengan Sumbu x Grafik
D > 0 2 akar berlainan 2 titik potong
D = 0 akar kembar 1 titik potong (titik singgung)
D < 0 tidak ada akar Tidak ada titik potong



2) TITIK POTONG DENGAN SUMBU-Y

x=0 ® y=c ® (0, c)


KEMUNGKINAN-KEMUNGKINAN
c > 0

c < 0

c = 0


memotong sumbu y di atas

memotong sumbu y di bawah

melalui titik (0,0)


3. SUMBU SIMETRI

(Garis sejajar sumbu-y yang menjadikan parabola simetris).

Persamaan sumbu simetri x = -b/2a

Ket. : Dari sumbu simetri ini dapat ditentukan tanda dari b.

4. TITIK PUNCAK

Puncak (-b/2a , -D/4a)

5. UNTUK MELENGKAPI GRAFIK, DIAMBIL BEBERAPA NILAI X DAN Y SECUKUPNYA

KOMBINASI TANDA a dan D
a>0
a<0

Ket :
Untuk D < 0 dan a > 0 Grafik selalu berada di atas sumbu x.
(fungsi selalu bernilai positip / DEFINIT POSITIF).

Untuk D < 0 dan a < 0 Grafik selalu berada di bawah sumbu x.
(fungsi selalu bernilai negatip l DEFINIT NEGATIP).



Menentukan Fungsi Kuadrat
Pada umumnya grafik suatu fungsi kuadrat y = ax² + bx + c akan tertentu jika diketahui 3 titik yang dilaluinya. Hal khusus jika melalui titik puncak, cukup diketahui melalui 2 titik saja.


diketahui melalui

misalkan fungsi
1)Tiga titik sembarang (x1,y1) ; (x2,y2) dan (x3,y3) y = ax² + bx + c
(a = ? ; b=? ; c = ?)
2) Titik potong dengan sumbu x
(x1,0) ; (x2,0) serta sebuah titik sembarang (x3,y3) y = a (x - x1) (x - X2)
( a = ? )
3) Titik Puncak (xp, yp)
dan sebuah titik sembarang (X2,Y2) Y = a (x - xp)² + yp
( a = ? )


Ket:
Dengan mensubstitusi titik-titik yang dilalui dan menyelesaikan persamaannya maka nilai a, b dan c yang dibutuhkan dapat dicari, sehingga fungsi kuadrat yang dimaksud dapat ditentukan. Selengkapnya...

PROGRAM LINIER

POLIGONAL DAN TITIK EKSTRIM

Irisan dari sejumlah berhingga penyelesaian pertidaksamaan, membentuk suatu Poligonal.
Titik P disebut Titik Ekstrim dari poligonal, jika P adalah titik potong garis garis yang membatasi poligonal tersebut.

Contoh :

Gambarkan TK x + 2y £ 4 (1)
x - y £ 4 (2)
x ³ 1 (3)
y ³ -1 (4)


Langkah:
® Gambarkan terlebih dahulu keempat garis batasnya dan masing- masing tentukan daerahnya.
® Cari irisannya yang merupakan suatu poligonal.
®Terakhir cari koordinat titik ekstrim poligonal tersebut.

- A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = -1

- B adalah titik potong antara garis y = -1 dan garis x-y =4

- C adalah titik potong antara garis x + 2y = 4 dan garis x-y=4
C (4, 0)

- D adalah titik potong antara x = 1 dan x + 2y = 4.
D (1, 3/2i )

Terbentuk poligonal ABCD dengan 4 titik ekstrimnya, yaitu :
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4 , 0) ; D(1,3/2)

Fungsi Linier Pada Poligonal
Kita bermaksud mencari nilai (khususnya maksimum/minimum) suatu fungsi Linier f (x, y) = px + qy
dimana (x,y)', memenuhi syarat-syarat sebagai berikut

ax + by £ c
dx + ey £ f
px + qy £ r

Hal di atas sama saja dengan mencari nilai maksimum/minimum suatu fungsi linier suatu poligonal.

DALIL

Jika f adalah suatu fungsi linier yang didefinisikan di atas suatu poligonal terbatas, maka nilai maksimum / minimumnya dicapai pada titik ekstrimnya (atau di sekitar titik ekstrimnya).

Contoh :

Carilah nilai maksimum dan minimum dari f(x,y) = 2x + Sy
dengan syarat : x + 2y £ 4
x- y£ 4
x ³ 1
y ³ -1

Langkah :
® Buatlah poligonalnya dan tentukan titik ekstrimnya.
Sesuai dengan contoh sebelumnya titik ekstrimnya adalah
A(1,-1) ; B(3,-1) ; C(4,0) ; D(1, 3/2 )
®Hitung nilai f(x,y) = 2x + 5y pada masing-masing titik ekstrimnya

f(A) = f(1,-1) = 2(1) + 5(-1) = -3
f(B) = f(3,-1) = 2(3) + 5(-1) = 1
f(C) = f (4, 0) = 2(4) + 5(0) = 8
f(D) = f (1, ; ) = 2(1) + 5( 3/2 ) = 9 1/2

Maka f(x,y) = 2x + Sy dengan batasan di atas mempunyai
- Nilai maksimum = 9 1/2 yang dicapai pada titik D (1, 3/2).
- Nilai minimum = -3 yang dicapai pada titik A (1,-1).




Model Matematika
Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)



contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan 150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00 dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

Tabel

Kue A Kue B Tersedia
Tepung
Mentega 150
50 75
75 2250
1750
KEUNTUNGAN 100 125

Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat y buah, maka persoalan menjadi :

Maksimumkan :
f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

dengan syarat (ds):
150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
x,y ³ 0
catatan : bentuk persyaratan £

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m, sutera 11 m dan wool 15 m.
Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

Model I Model II Tersedia
Katun
Sutera
Wool 2
1
1 1
2
3 16
11
15
KEUNTUNGAN 3000 5000


Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
model II yang dibuat = y


Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y £ 16 (1)
x + 2y £ 11 (2)
x + 3y £ 15 (3)
x;y ³ 0

Titik Ekstrim

A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan 2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1 kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya Rp 800,00 ?

Tabel

A B Kebutuhan
Protein
Karbohidrat
Lemak 4
12
2 2
2
6 16
24
15
HARGA 1700 800


Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
2x + 6y ³ 18 ® x + 3y ³ 9 (3)
(Catatan : Bentuk persyaratan ³ )

Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B.


Garis Selidik
Untuk menentukan nilai maksimum / minimum dari suatu fungsi dengan syarat tertentu dapat juga dicari tanpa menguji nilai fungsi dari titik-titik ekstrimnya.
Cara lain ini adalah dengan menggunakan Garis Selidik. Garis Selidik yang dimaksud adalah garis yang merupakan fungsi objektifnya.

Andaikan fungsi objektifnya f(x,y) = ax + by

Garis Selidik ax + by = k

Untuk suatu (x,y) tertentu, k adalah nilai dari fungsi objektif tersebut.
Kemungkinan-kemungkinan

1) k=0 ® ax +by=0
Garis melalui titik pangkal (0,0) memberikan nilai minimum = 0.

2)Garis tersebut digeser sejajar ke kanan (masalah maksimum) / ke kiri (masalah minimum) sehingga menyentuh titik ekstrim terakhir dari poligon yang terbentuk. Pada titik itulah, nilai maksimum / minimum dari fungsi didapat.

contoh :

Maksimumkan f(x,y) = x + 2y

ds : x + 3y £ 9...(1)
2x + y £ 8...(2)
x ; y ³ 0

Garis putus-putus menunjukkan garis selidik x + 2y = 0 yang bergeser ke kanan dan terakhir mencapai titik ekstrim E.

Maksimum dicapai pada titik E, yaitu f(E) = f(3,2) = 1(3) + 2(2) = 7

Keterangan :
Cara ini baik dilakukan, bila poligonal yang terbentuk banyak terdapat titik ekstrimnya. Tetapi diperlukan ketelitian pada saat menggeser garis fungsi tujuan, terutama jika terdapat titik-titik ekstrim yang saling berdekatan. Selengkapnya...

Gradien

Tempat kedudukan titik-titik (x,y) sehingga terdapat hubungan linier
ax + by + c = 0 merupakan suatu garis lurus

Bentuk ax + by +c = 0 (implisit) dapat ditulis dalam bentuk

y = mx + n (eksplisit)

dengan m = -a/b dan n = -c/b ; (b ¹ 0)

Ket : nilai m dan n ini mempunyai arti penting dalam menentukan grafik garis lurus.

m disebut koefisien arah (gradien) garis

m = tan a , dimana a adalah sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x positif (berlawanan arah dengan jarum jam)
0° < a < 90° ® tan a = +
90° < a < 180° ® tan a = -

n = panjangan potongan terhadap sumbu y dihitung dari pusat sumbu koordinat

y = mx + n Selengkapnya...

Fungsi Invers

f : A ® B

Bila b Î B, maka invers dari elemen b (dinyatakan dengan f-1 (b)) adalah elemen A yang mempunyai pasangan b, atau

f-1 (b) = {x ½ x Î A, f(x) = b}

Jika f adalah fungsi dari A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 :A ® B jika dan hanya jika f adalah one one onto / bijektif / korespondensi 1-1


ket :

f : y = f(x)

cara mencari fungsi invers

f-1 : x = f(y) ® nyatakan x dalam y

TEOREMA
f : A ® B dan f-1 : B ® A

f-1 o f : A ® A : fungsi indentitas di A
f f-1
A ® B ® A
(f-1 o f)

f o f-1 : B ® B : fungsi identitas di B
f-1 f
B ® A ® B
(f o f-1)


Invers Dari Fungsi Komposisi


(g o f)-1 (x) = (f-1 o g-1)(x)

contoh:

1. Tentukan diagram fungsi di bawah ini ada inversnya atau tidak




2.

Tentukan grafik di bawah ini mempunyai invers/tidak !



CARA MENENTUKAN SUATU GRAFIK MEMPUNYAI INVERS/TIDAK

Tarik sembarang garis sejajar sumbu x, bila memotong grafik hanya di satu titik, maka grafik tersebut mempunyai invers. Bila tidak demikian, maka grafik tersebut tidak mempunyai invers
3.

Diketahui f: R ® R
f(x) = 2x - 3

Tentukan f-1 (x) !

Jawab:

f one one onto
sehingga f mempunyai invers
misalkan y = image dari x
y = f(x)
y = 2x-3 (yang berarti x = f-1(y))
x = (y+3)/2
f-1(x) = (x+3)/2
4.

Diketahui f: A ® B
f(x) = (x - 2)/(x - 3)
dengan A = {R - {3}} dan B = {R - {-1}}
(baca: A adalah himpunan bilangan riil kecuali 33)

Tentukan f-1(x)

Jawab:

y = (x - 2)/(x - 3)
y(x - 3) = x - 2
yx - 3y = x - 2
x(y - 1) = 3y - 2
x = (3y - 2)/(y - 1) ® f-1(x) = (3x - 2)/(x - 1)

Hal-Hal Khusus
FUNGSI ASAL

FUNGSI INVERS
f(x) = ax+b ; a ¹ 0 f-1(x) = (x-b)/a ; a ¹ 0
f(x) = (ax+b)/(cx+d) ; x ¹ -d/c f-1(x) = (-dx+b)/(cx-a) ; x ¹ a/c
f(x) = ax² + bx + c ; a ¹ 0 f-1(x) = (-b+Ö(b²-4a(c-x))/2a ; a ¹ 0
f(x) = a log cx ; a > 0 ¹ 1 ; cx>0 f-1(x) = ax/c ; c ¹ 0
f(x) = acx ; a > 0 ¹ 1 f-1(x) = alog x1/c = 1/c alog x ; c¹0

Keterangan : fungsi invers ini ada, jika syarat-syaratnya terpenuhi

Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika daerah definisinya dibatasi.

f(x) = x² untuk X > 0 ® f-1(x) = Öx untuk X > 0 Selengkapnya...

Komposisi Fungsi

Anggap f : A ® B dan g : B ® C

Didapat fungsi baru (g o f) : A ® C
yang disebut komposisi fungsi dari f dan g

h = g o f
(g o f) (x) = g (f (x))

® yaitu dengan mengerjakan f(x) terlebih dahulu
ket : image f merupakan domain bagi g.

contoh:

1. f:A ® B; g:B ® C
(g o f)(a) = g (f(a)) = g(y) = t
(g o f)(b) = g (f(b)) = g(z) = r
(g o f)(c) = g (f(c)) = g(y) = t



2. f: R ® R ; f(x) = x²
g: R ® R ; g(x) = x + 3 R=riil

maka
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)² = x² + 6x + 9
(g o f)(x) = g(f(x)) = g(x²) = x² + 3

Bila x=2, maka
(f o g)(2) = f(g(2)) = f(5) = 25
(g o f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 7

3. Diketahui [rumus]
jika (f o g)(x) = x²
Tentukan g(x) !
jawab:
[rumus]

SIFAT

Bila f : A ® B; g : B ® C ; h : C ® D

maka

(f o g) ¹ (g o f) : tidak komutatif
(h o g) o f = h o (g o f) : asosiatif Selengkapnya...

Menyusun Persamaan Kuadrat

KEDUA AKARNYA KUADRAT

Andaikan akar-akarnya X1 dan X2

1. Mengisikan akar-akarnya kedalam bentuk (X - X1)(X - X2) = 0

2. Menggunakan sifat akar X² - (X1+X2)X + X1 . X2 = 0

KEDUA AKARNYA MEMPUNYAI HUBUNGAN DENGAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT YANG DIKETAHUI

Andaikan X1 dan X2 adalah akar-akar persamaan kuadrat aX²+bX+c=0 yang diketahui

1. Hubungan tidak beraturan [y1 = f(X1,X2) dan y2 = f(X1,X2)]

Andaikan y1 dan y2 adalah akar-akar persamaan kuadrat baru.

Langkah:

Cari terlebih dahulu nilai dari (y1 + y2) dan (y1 . y2) yang masing-masing merupakan fungsi dari (X1 + X2) atau (X1 . X2) dimana nilai dari (X1 + X2) dan (X1 . X2) didapat dari persamaan kuadrat yang diketahui.

Persamaan Kuadrat baru : y² - (y1 + y2)y + (y1 . y2) = 0


2. Hubungan beraturan (hal khusus)

Akar-akar baru

Hubungan

PK Baru

p lebihnya
(X1+p) dan (X2+p)



y = X + p
® X = y-p




a(y-p)² + b(y-p) + c =0



p kurangnya
(X1-p) dan (X2-p)



y = X - p
® X = y + p




a(y+p)² + b(y+p) + c = 0



p kali
pX1 dan pX2




y = pX
® X = y/p




a(y/p)²+b(y/p)+c=0



kebalikannya
1/X1 dan 1/X2




y=1/X
X= 1/y




a(y/p)² + b(1/y) + c = 0
atau
cy²+by+a = 0



kuadratnya
X1² dan X2²




y = X²
® X = Öy




a(Öy)² + b(Öy) + c = 0
atau
a²y + (2ay-b²)y + c² = 0


Sifat-Sifat
Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :
a > b ; a = b atau a < b

1. a > b ® a - b > 0
a = b ® a - b = 0
a < b ® a - b < 0

prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif


2. a + b < c ® a + b - c < 0

atau

c-a-b>0


3. Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama

a < b ® { a + c < b + c
a - c < b - c


4. Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama

a < b } ® { ac < bc
c > 0 a/c < b/c

Tanda tetap


5.

Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama
a < b } ® { ad > bd TANDA BERUBAH
d < 0 a/d > b/d


6.

Pangkat Genap
a > 0 ; b > 0 } ® a² < b² TANDA TETAP
a < b

a < 0 ; b < 0 } ® a² > b² TANDA BERUBAH
a < b


7.

Pangkat Ganjil

a < b ® { a³ < b³ ® TANDA TETAP
a5 < b5
a7 < b7


8.

Kebalikan

a > 0 ; b > 0 } ® 1/a > 1/b TANDA BERUBAH
a < b

a < 0 ; b < 0 } ® 1/a > 1/b TANDA BERUBAH Selengkapnya...

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan
X1 + X2 = -b/a

X1.X2 = c/a

X1 - X2 = ÖD/a

1. Kedua akar nyata berlawanan

Maksudnya : X1 = -X2

syarat : D > 0
X1 + X2 = 0 ® b = 0

Ket: X1 + X2 = 0 ® -b/a = 0 ® b = 0


2. Kedua akar nyata berkebalikan

Maksudnya : X1 = 1/X2

syarat : D ³ 0
X1 . X2 = 1 ® a = c

Ket: X1 . X2 = 1 ® c/a = 1 ® a = c


3. Kedua akar nyata positif

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 > 0

syarat : D ³ 0
X1 + X2 > 0
X1 . X2 > 0


4. Kedua akar nyata negatif

maksudnya : X1 < 0 ; X2 < 0

syarat: D ³ 0
X1 + X2 < 0
X1 . X2 > 0


5. Kedua akar nyata berlainan tanda

Maksudnya : X1 > 0 ; X2 < 0

syarat : D > 0
X1 . X2 < 0

Ket: bentuk X1 + X2 bukan merupakan syarat karena hasil dari X1 + X2 tandanya tidak pasti


6. Kedua akar rasional

Maksudnya : X1 dan X2 bukan berbentuk Ö

syarat : D = bentuk kuadrat
D = (0,1,4,9,16,25...)

Ket: D= bentuk kuadrat akan menghilangkan tanda Ö , sehingga X1 dan X2 rasional

Suatu bentuk aljabar disebut simetris, seperti x² + y², jika x dan y dipertukarkan tempatnya menjadi y² + x², maka nilainya sama dengan bentuk semula.

Dalam hal ini kita merubah bentuk yang diberikan menjadi bentuk (X1+X2) atau (X1.X2)
1. X1² + X2²

= (X1 + X2)² - 2X1.X2
= (-b/a)² + 2(c/a)


2. X1³ + X2³

= (X1+X2)³ - 3X1X2(X1+X2)
= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)


3. X14 + X24

= (X1²+X2²)² -(X1²X2²)
= [(X1+X2)² - 2X1X2]² - 2(X1X2)²
= [(-b/a)² - 2(c/a)]² - 2(c/a)²


4. X1²X2 + X1X2²

= X1X2(X1+X2)
= c/a (-b/c)


5. 1/X1 + 1/X2

= (X1+X2)/X1+X2
= (-b/a)/(c/a)
= -b/c


6. X1/X2 + X2/X1

= (X1²+X2²)/X1X2
= ((X1+X2)²-2X1X2)/X1X2


7. (X1-X2)²

= (X1+X2)² - 4X1X2 atau [ÖD/a]² = D/a²


8. X1² - X1² = (X1+X2)(X1-X2)
= (-b/a)(ÖD/a)



Bedakan Istilah

Jumlah Kuadrat : (X1²+X2²)

dengan

Kuadrat Jumlah (X1+X2)² Selengkapnya...

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

  1. Memfaktorkan

    ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
    ®
    x1 = - p/a dan x2 = - q/a

    dengan p.q = a.c dan p + q = b

  2. Melengkapkan bentuk kuadrat
    persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
    (x + p)² = q² ® x + p = ± q
    x1 = q - p dan x2 = - q - p

  3. Rumus ABC
    ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a

    bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
    sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a
Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

  1. D > 0

    x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a

    PK mempunyai dua akar nyata berbeda


  2. D = 0

    x1 = x2 = -b/2a

    PK mempunyai dua akar nyata yang sama

    tt

  3. D <>

    Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0



Selengkapnya...

Rabu, 20 Januari 2010

Narkotika dan zat adaktive lainnya

Pendahuluan

Perkembangan Penyalahgunaan dan Peredaran Gelap Narkotika, Psikotropika dan Bahan Zat Adiktif lainnya telah menjadi permasalahan dunia yang tidak mengenal batas Negara, juga menjadi bahaya global yang mengancam kehidupan masyarakat, Bangsa dan Negara selain terorisme. Masalah penyalahgunaan dan Peredaran Gelap Narkoba di Indonesia menunjukkan adanya kecenderungan yang meningkat dan sudah sangat memperihatinkan serta membahayakan kehidupan masyarakat, Bangsa dan Negara. Indonesia (Aceh) bukan hanya sebagai daerah penghasil Narkotika dan juga telah menjadi salah satu daerah sasaran perdagangan dan peredaran gelap berbagai jenis narkoba di tanah air.

APA YANG DIMAKSUD DENGAN NARKOTIKA ?

Narkotika berasal dari bahasa Yunani Narkoun yang berarti membuat lumpuh atau mati rasa. Menurut Undang-undang R.I No.22/1997 ditetapkan sebagai zat atau obat yang berasal dari tanaman atau bukan tanaman baik buatan maupun semi buatan yang dapat menyebabkan penurunan atau perubahan kesadaran, mengurangi sampai menghilangkan nyeri, dan dapat menimbulkan ketergantungan atau kecanduan. Undang-undang ini memberi batasan penyalahgunaan narkotika adalah orang yang menggunakan narkotika tanpa sepengetahuan dan pengawasan dokter. Dalam pasal 45 dinyatakan bahwa pecandu narkotika wajib menjalankan pengobatan dan atau perawatan iconwallbashy

SECARA UMUM, NARKOBA DIBEDAKAN DARI EFEK YANG DIHASILKANNYA, YAITU:

a. Stimulan (perangsang):
Obat jenis ini meningkatkan aktivitas dalam sistem syaraf pusat dan otonom. Obat perangsang bekerja mengurangi kantuk karena kelelahan, mengurangi nafsu makan dan menghasilkan insomnia, mempercepat detak jantung, tekanan darah dan pernapasan, serta mengerutkan urat nadi, membesarkan biji mata. Obat perangsang yang paling banyak dipakai adalah: nikotin (dari nikotin tembakau), kafein (terdapat dalam kopi, teh, cokelat, minuman ringan), amfetamin, kokain (dari erythroxylum pohon koka), dan crack (kristalisasi bentuk dasar kokain).

b. Anti-depresan, yaitu
sejenis obat yang mempunyai kemampuan untuk memperlambat fungsi sistem saraf pusat dan otonom. Obat antidepresan memberikan perasaan melambung tinggi, memberikan rasa bahagia semu, pengaruh anastesia (kehilangan indera perasa), pengaruh analgesia (mengurangi rasa sakit), penghilang rasa tegang dan kepanikan, memperlambat detak jantung dan pernapasan serta dapat berfungsi sebagai obat penenang dan obat tidur. Contoh: obat penenang hipnotis, alkohol, benzodiazepines, obat tidur, analgesik narkotika (opium, morfin, heroin, kodein), analgesik nonnarkotika (aspirin, parasetamol), serta anastesia umum seperti ether, oksida nitrus.

c. Halusinogen:
sejenis obat yang memiliki kemampuan untuk memproduksi spektrum pengubah rangsangan indera yang jelas dan pengubah perasaan serta pikiran. Akibat yang disebabkan oleh halusinogen bisa bebeda jauh antara satu pemakai dengan pemakai yang ragamnya mulai dari perasaan gembira yang luar biasa sampai perasaan ngeri yang luar biasa.

d. Klasifikasi NARKOBA yang lain: jenis-jenis obat yang tidak berpengaruh secara langsung terhadap sistem saraf pusat dan otonom, namun berpengaruh langsung terhadap bahan-bahan kimia otak yang spesifik (neurotransmitter). Ketika sedang aktif, neurotransmitter itu diyakini mempengaruhi emosi, rasa sakit, daya ingat, dan keterampilan motorik.

BAHAYA NARKOBA

Seperti dijelaskan di atas, efek yang ditimbulkan oleh NARKOBA dapat membuat pemakainya kehilangan kontrol atas dirinya, sehingga terkadang melakukan hal-hal yang tidak akan dilakukannya apabila ia sedang dalam kesadaran penuh.

Misalnya, di bawah pengaruh NARKOBA (terutama yang bersifat stimulan dan halusinogen) sepasang remaja bisa melakukan hubungan seks yang tidak aman, yang buntut-buntutnya dapat menyebabkan kehamilan yang tidak diinginkan atau penularan penyakit kelamin.
Selain itu, bergantian memakai jarum suntik juga dapat menularkan virus seperti HIV yang menyebabkan AIDS dan virus Hepatitis B dan C. Jarum suntik yang tidak steril juga menjadi pintu masuk bagi bakteri-bakteri yang suka ngendon di katup jantung, sehingga pecandu NARKOBA suntikan tak jarang yang mengalami kerusakan jantung.

Pada dasarnya, semua obat adalah racun, yang apabila dikonsumsi melebihi dosis yang aman dapat membahayakan kesehatan bahkan dapat sampai menimbulkan kematian. Demikian pula dengan obat-obatan atau zat yang bersifat adiktif atau menimbulkan ketagihan. Apabila seseorang sudah pernah mencoba NARKOBA dan menikmatinya, besar kemungkinan ia ingin mengulangi pengalaman itu. Apabila hal ini berlangsung lebih sering, maka ia akan memasuki tahap pembiasaan, di mana penggunaan NARKOBA sudah menjadi kebiasaannya.

Tahap yang mengikuti tahap pembiasaan adalah tahap kompulsif yaitu mengalami ketergantungan dan tidak dapat mengendalikan pemakaian obat-obatan tadi. Dalam keadaan ketagihan, pecandu merasa sangat tidak nyaman dan kesakitan. Baginya, tidak ada lagi yang lebih penting daripada mendapatkan zat yang menyebabkan dia ketagihan itu. Untuk mendapatkan itu dia dapat melakukan apa pun, seperti mencuri, bahkan membunuh.

Konsumsi zat adiktif terus-menerus dapat menyebabkan peningkatan toleransi tubuh sehingga pemakai tidak dapat mengontrol penggunaannya dan cenderung untuk terus meningkatkan dosis pemakaian sampai akhirnya tubuhnya tidak dapat menerima lagi. Keadaan ini disebut overdosis, dan apabila tidak ditangani secara cepat dan tepat, dapat menyebabkan nyawa melayang.

Overdosis juga dapat disebabkan oleh penggunaan campuran dua jenis atau lebih NARKOBA. Mencampur beberapa jenis sangat berbahaya karena kalau NARKOBA dicampur, pengaruhnya akan lebih dahsyat bahkan dapat menimbulkan reaksi lain yang tak terduga. Campuran yang paling berbahaya adalah campuran dua macam antidepresan misa1nya heroin dan alkohol dan / atau valium rohypnol. Pengaruh sinergi dari dua jenis antidepresan dapat menutup rapat pusat pernapasan otak, yang mengakibatkan koma atau kematian

Gejala - Gejala Pemakaian Narkoba Secara Berlebihan

1. Opiat (heroin, morfin, ganja)
- perasaan senang dan bahagia
- acuh tak acuh (apati)
- malas bergerak
- mengantuk
- rasa mual
- bicara cadel
- pupil mata mengecil (melebar jika overdosis)
- gangguan perhatian/daya ingat

2. Ganja
- rasa senang dan bahagia
- santai dan lemah
- acuh tak acuh
- mata merah
- nafsu makan meningkat
- mulut kering
- pengendalian diri kurang
- sering menguap/ngantuk
- kurang konsentrasi
- depresi

3. Amfetamin (shabu, ekstasi)
- kewaspadaan meningkat
- bergairah
- rasa senang, bahagia
- pupil mata melebar
- denyut nadi dan tekanan darah meningkat
- sukar tidur/ insomnia
- hilang nafsu makan

4. Kokain
- denyut jantung cepat
- agitasi psikomotor/gelisah
- euforia/rasa gembira berlebihan
- rasa harga diri meningkat
- banyak bicara
- kewaspadaan meningkat
- kejang
- pupil (manik mata) melebar
- tekanan darah meningkat
- berkeringat/rasa dingin
- mual/muntah
- mudah berkelahi
- psikosis
- perdarahan darah otak
- penyumbatan pembuluh darah
- nystagmus horisontal/mata bergerak tak terkendali
- distonia (kekakuan otot leher)

5. Alkohol
- bicara cadel
- jalan sempoyongan
- wajah kemerahan
- banyak bicara
- mudah marah
- gangguan pemusatan perhatian
- nafas bau alkohol

6. Benzodiazepin (pil nipam, BK, mogadon)
- bicara cadel
- jalan sempoyongan
- wajah kemerahan
- banyak bicara
- mudah marah
- gangguan pemusatan perhatian

Tanda-Tanda Kemungkinan Penyalahgunaan Narkotika dan Zat adiktif

a. Fisik
- berat badan turun drastis
- mata terlihat cekung dan merah, muka pucat, dan bibir kehitam-hitaman
- tangan penuh dengan bintik-bintik merah, seperti bekas gigitan nyamuk dan
ada tanda bekas luka sayatan. Goresan dan perubahan warna kulit di tempat
bekas suntikan
- buang air besar dan kecil kurang lancar
- sembelit atau sakit perut tanpa alasan yang jelas

b. Emosi
- sangat sensitif dan cepat bosan
- bila ditegur atau dimarahi, dia malah menunjukkan sikap membangkang
- emosinya naik turun dan tidak ragu untuk memukul orang atau berbicara kasar
terhadap anggota keluarga atau orang di sekitarnya
- nafsu makan tidak menentu

c. Perilaku
- malas dan sering melupakan tanggung jawab dan tugas-tugas rutinnya
- menunjukkan sikap tidak peduli dan jauh dari keluarga
- sering bertemu dengan orang yang tidak dikenal keluarga, pergi tanpa pamit
dan pulang lewat tengah malam
- suka mencuri uang di rumah, sekolah ataupun tempat pekerjaan dan menggadaikan
barang-barang berharga di rumah. Begitupun dengan barang-barang berharga
miliknya, banyak yang hilang
- selalu kehabisan uang
- waktunya di rumah kerapkali dihabiskan di kamar tidur, kloset, gudang, ruang yang
gelap, kamar mandi, atau tempat-tempat sepi lainnya
- takut akan air. Jika terkena akan terasa sakit – karena itu mereka jadi malas mandi
- sering batuk-batuk dan pilek berkepanjangan, biasanya terjadi pada saat gejala
“putus zat”
- sikapnya cenderung jadi manipulatif dan tiba-tiba tampak manis bila ada maunya,
seperti saat membutuhkan uang untuk beli obat
- sering berbohong dan ingkar janji dengan berbagai macam alasan
- mengalami jantung berdebar-debar
- sering menguap
- mengeluarkan air mata berlebihan
- mengeluarkan keringat berlebihan
- sering mengalami mimpi buruk
- mengalami nyeri kepala
- mengalami nyeri/ngilu sendi-sendi

Selengkapnya...